Lógica Temporal y Modal

LÓGICA DEL TIEMPO Y LÓGICA MODAL

Aristóteles ya percibió que el tiempo no era indiferente al valor lógico de las proposiciones, la proposición “llueve”, por ejemplo, puede ser verdadera ahora y falsa dentro de un rato. Pero fue la Escuela de Megara la que analizó con más profundidad las repercusiones del tiempo sobre la lógica de la proposición. Fue un discípulo de Euclides de Megara (fundador de la escuela), Diodoro Cronos, quien intentó reducir la lógica modal a lógica del tiempo.

La lógica modal aprovecha las propiedades de las funciones: es necesario que... es imposible que... es posible que... es contingente que..., y fue ya usada por Aristóteles, quien descubrió entre las modalidades las misma estructura lógica que entre las proposiciones distribuidas según lo que hoy llamamos cuantificación (cuadrado de Aristóteles o de Apuleyo).


Así, la relación indicada en los Primeros analíticos entre las cuatro situaciones: A (todos), E (ninguno), I (alguno o al menos uno) y O (alguno no) es igualmente puesta de manifiesto en el Sobre la interpretación entre lo necesario, lo imposible, lo posible y lo contingente.

Pues bien, la tradición megárico-estoica redujo la lógica modal a la lógica del tiempo. Así:

1. Lo posible es lo que está realizado en algún tiempo

Es posible que p si y solo si E t [V t (p)]
(Existe un tiempo, t, en que p es Verdadera)

2. Lo necesario es lo que está realizado en todo tiempo

Es necesario que p si y solo si ^ t [V t (p)]
(Para todo tiempo, t, es verdad que p)

Estas definiciones darán en el siglo XII a Averroes las idea de reducir el cuadrado modal de Aristóteles a un cuadrado temporal.

"Siempre p" y "nunca p" son proposiciones contrarias (incompatibles). "Algunas veces p" es la subalterna de nunca p, algunas veces no p es la subalterna de nunca p. De modo que la Necesidad implica la Posibilidad y la Imposibilidad implica la contingencia, pero no al revés, es decir, de lo posible no se sigue lo necesario, ni de lo contingente lo imposible.

"Algunas veces p" y "algunas veces no p" son subcontrarias (Russell diría que forman disyunciones). Las dos parejas "siempre-no siempre" y "nunca-algunas veces" son contradictorias o constituyen una alternativa, puesto que una de cada par tiene que ser verdadera y otra falsa.

Admitiendo la equivalencia de "es necesario que p" con "siempre p", de "es imposible que p" con "nunca p", de "es posible que p" con "algunas veces p" y de "es contingente que p" con "algunas veces no p", se reducen fácilmente los cuadrados de la modalidad y de la temporalidad el uno al otro:

"Siempre p" = "Es necesario p" = cp

Contraria de "Es necesaria ¬p" = "Nunca p" c¬p

Sus subalternas:

"Algunas veces p" = "Es posible p" = sp

Subcontraria de Algunas veces ¬p = "Es posible ¬p" ("Contingente p") = s¬p


Ejercicios

1. Construya un cuadrilátero de Apuleyo modal y otro temporal.
2. La proposición “Es imposible que el Real Madrid gane la liga” ¿pertenece a la lógica modal o a la lógica temporal?
3. Suponiendo que sea verdadera, contruya sus opuestas y explique qué valores de verdad tendrían por pura lógica.
4. ¿Cuál sería la incompatible de “Nunca llueve a gusto de todos”? ¿Pueden ser falsas al mismo tiempo dos incompatibles?
5. Explique el significado lógico de "contingencia".


Reglas modales

cp => sp; cp => ¬s¬p; cp => ¬c¬p; ¬cp => s¬p
sp => ¬c¬p; ¬sp =>¬cp; ¬sp => s¬p; ¬sp => ¬cp
c¬p => ¬cp; c¬p => ¬sp; c¬p => s¬p; ¬c¬p => sp
s¬p => ¬cp; ¬s¬p => ¬c¬p; ¬s¬p => cp; ¬s¬p => sp

Ejercicio

Dé una interpretación a cada una de las reglas modales y/o temporales.
Ejemplos: a) "Si siempre sale el sol por Antequera, entonces es cierto que es posible que mañana salga por Antequera" (cp => sp); b) "Si no es posible que un notable en filosofía no me alegre la vida, entonces es posible que un notable en filosofía me alegre la vida" (¬s¬p => sp).