Leyes de proposiciones

Entendemos por A cualquier fórmula proposicional, y por B cualquier fórmula proposicional distinta de A.

A y B son metavariables, variables de variables, que pueden ser interpretadas en función de variables y funciones como p & q, z, p v s, t -> p..., etc.

Toda equivalencia lógica (<=>) es una bicondicional tautológica; y cualquier implicación formal (=>) es una condicional tautológica, o sea, necesariamente verdadera.

La equivalencia y la implicación formal constituyen metafunciones, funciones de funciones. Así, empleo la equivalencia (<=>) para referirme a un bicondicional (<->) que es necesariamente verdadero o tautológico, y la implicación (=>) para referir a un condicional (->) que es necesariamente verdadero o tautológico.

Las equivalencias lógicas y las implicaciones formales -que escribo "horizontalmente"- constituyen leyes lógicas que pueden usarse como reglas deductivas -escritas "verticalmente"-, tomando los antecedentes (prótasis) del condicional por premisas conjuntadas (P1 & P2... Pn), y el consecuente (apódosis) por conclusión (Q). Cada conclusión legítima -obtenida según reglas- puede incorporarse a las premisas como paso deductivo legítimo, y así ayudar a obtener nuevas consecuencias (corolarios).

Como ya sabe, las fórmulas proposicionales pueden ser necesariamente verdaderas (Tautologías, T), necesariamente falsas (Contradicciones, C), y unas veces verdaderas y otras falsas (Indeterminaciones, I).

Ejemplos sencillos:

1) A & ¬A <=> C

2) A -> A <=> T

3) Las fórmulas "A", "A & B", "C -> A", verbigracia, son indeterminaciones consistentes, aunque no tautológicas. Llamamos consistentes a las fórmulas que no contienen contradicción (sean una veces verdaderas o falsas, I, ó siempre verdaderas, T).

Toda ley lógica es una tautología y cualquier fórmula proposicional A implica una tautología (T):

A => T.

Sin embargo, también de una falsedad absoluta (Contradicción, C) se sigue cualquier fórmula:

C => A,

según la ley lógica Ex falso sequitur quodlibet ("De lo falso se sigue cualquier cosa"). Esta ley explica por qué un razonamiento con premisas inconsistentes (que contienen contradicción) es sin embargo válido. En efecto, entiendo por C una fórmula, la que sea, en cuya tabla de verdad sólo caen ceros (falsedades), y, por definición, un enunciado condicional con antecedente falso (contrafáctico) es formalmente válido, aunque pueda ser semánticamente absurdo.

Por consiguiente, un razonamiento con premisas cuya conjunción es necesariamente falsa es necesariamente válido. Dicho de otro modo, de una contradicción C se sigue cualquier fórmula A, pero también su contraria o contradictoria ¬A:

C => A & ¬A

Lo peor de introducir falsedades en nuestros razonamientos está precisamente en que un razonamiento con premisas contradictorias nos puede llevar a cualquier parte, incluso a una tautología: C => T.

Más "exclusiva" es la tautología. Ya hemos explicado que entendemos por T cualquier fórmula cuya tabla de verdad sólo admite unos, o sea verdade lógicas. Si repasa usted la tabla de verdad del condicional, comprenderá fácilmente la siguiente ley de leyes:

A => T

o sea, cualquier fórmula (I o C) implica una tautología, porque un condicional con consecuente (apódosis) necesariamente verdadero es un condicional tautológico. Ahora bien, una tautología sólo implica tautologías:

T => T

He ahí la razón profunda que justifica que de nuestros principios lógicos (identidad, no contradicción y tercio excluso) puedan deducirse todas las leyes lógicas imaginables... que son infinitas, pues cualquier tautología es una ley lógica y puede usarse como regla deductiva.

A continuación sólo me referiré a algunas de las más útiles y famosas... Recuerdo que si una fórmula equivale a otra también la implica, ¡pero no viceversa!

Ley de la doble negación, DN:

¬¬A <=> A

Leyes de simplificación o eliminación de la conjunción, E&:

A & B => A

A & B => B

Ley aditiva o de introducción de la disyunción, Iv:

A => A v B

Inferencia de la alternativa o ley de eliminación de la disyunción, IA:

(A v B) & ¬ A => B

(A v B) & ¬ B => A

Como he explicado en clase, esta es la ley que, según los estoicos, aplican como regla deductiva incluso los perros.

Leyes conmutativas de la conjunción, disyunción y bicondicional, Conm.:

A & B <=> B & A

A v B <=> B v A

A <-> B <=> B <-> A

Leyes asociativas de la conjunción, disyunción y bicondicional, Asoc.:

A & (B & C) <=> (A & B) & C

A v (B v C) <=> (A v B) v C

A <-> (B <-> C) <=> (A <-> B) <-> C

Ley transitiva del condicional:

(A -> B) & (B -> C) => A -> C

Ley de Clavius:

(¬p -> p) -> p

Leyes de Morgan:

¬ (A & B) <=> ¬ A v ¬ B

¬ (A v B) <=> ¬ A & ¬ B

Leyes y falacias del condicional

Modus ponendo ponens MPP:

((A -> B) & A) => B

Modus tollendo tollens MTT:

((A -> B) & ¬ B => ¬ A

¡Ojo! las siguientes tesis son proposiciones consistentes, pero ¡no son implicaciones formales!:

1) ((A -> B) & B) -> A

2) ((A -> B) & ¬ A) -> ¬B

Por consiguiente es falaz concluir de las premisas P1: A -> B, y P2: B, la conclusión, Q: A, puesto que hay al menos un caso u ocurrencia en que P1 & P2 sería verdadera y Q (o sea B) sería falsa, lo que quiere decir que el condicional que une las premisas con la conclusión no es tautológico.

Y lo mismo sucede respecto del enunciado 2).

Cuando se emplean como pseudorreglas las llamamos falacias del condicional.

Interdefiniciones de las conectivas

A & B <=> ¬ (¬A v ¬B)

A & B <=> ¬ (A -> ¬B)

A v B <=> ¬ (¬A & ¬B)

A v B <=> ¬A -> B

A -> B <=> ¬ A v B

A -> B <=> ¬ (A & ¬B)

A <-> B <=> (A -> B) & (B -> A)

A <-> B <=> ¬ (A & ¬B) & ¬ (B & ¬ A)

Ejercicios

1. Escriba todas y cada una de las leyes anteriores como reglas deductivas

2. Comente el siguiente texto:

"4.461...La tautología no tiene condiciones de verdad, pues es incondicionalmente verdadera; la contradicción, bajo ninguna condición es verdadera. La tautología y la contradicción carecen de sentido. (Como el punto del cual parten dos flechas en direcciones opuestas) (Yo no sé, por ejemplo, nada sobre el tiempo, cuando sé que llueve o no llueve).

4.4611 Tautología y contradicción no son, sin embargo, sinsentidos; pertenecen al simbolismo, del mismo modo que cero es parte del simbolismo de la aritmética.

4.462 Tautología y contradicción no son figuras de la realidad. No representan ningún posible estado de cosas. En efecto, una permite todos los posibles estados de cosas; la otra, ninguno...

4.463 La tautología deja a la realidad todo el espacio lógico infinito; la contradicción llena todo el espacio lógico y no deja a la realidad ni un punto. Ninguna de las dos pueden, pues, determinar de ningún modo a la realidad.

4.464 La verdad de la tautología es cierta; la de las proposiciones, posible; la de las contradicciones, imposible.

(...)

5.143... La contradicción es el límite externo de las proposiciones. La tautología su centro insustancial."

Ludwig Wittgenstein. Tractatus logico-Philosophicus, trad. E. Tierno Galván, Londres 1922.