Sistema axiomático formal

EL LENGUAJE FORMAL DE LA LÓGICA

A. ¿Qué es un Sistema Axiomático Formal?

La lógica se organiza, o puede ordenarse, como un sistema axiomático formal (SAF). Un SAF tiene la siguiente estructura:

1. Parte morfológica de un SAF:

1.1 Componentes primitivos, e. d., signos que carecen de todo contenido material, de todo significado semántico. Los signos del SAF no son “semantemas”. Son los “átomos” del lenguaje formal. Ejemplo: p, q, r, s, etc. Estos componentes son las variables de nuestro lenguaje lógico. Sea p cualquier proposición, puede valer en una lógica bivalente 1 (verdad) ó 0 (falsedad).

1.2 Operadores. Un montón de signos aislados no constituyen un lenguaje lógicamente articulado. Tienen que poder enlazarse, relacionarse, componerse entre sí, mediante operaciones, que conectan (conectores o conectivas) unos signos con otros. Su número puede ser variable. En nuestra lógica bivalente, podríamos jugar con 16 conectores distintos, aunque suelen usarse menos.



Dentro de los operadores podemos distinguir entre operadores primitivos y derivados. La elección de unos y otros es arbitraria. P. ej., si elegimos como primitivos el negador (¬) y el conjuntor (&), entonces el disyuntor (v) y el condicionador (->) resultan derivados. En lógica proposicional, el número mínimo de operadores primitivos es uno. Toda el SAF de la lógica de proposiciones puede construirse utilizando como operador primitivo el de Sheffer (/) -número 14 del diagrama de Alfredo Deaño (Introducción a la Lógica formal, Madrid, 1974)-, siendo los demás derivados. También puede utilizarse como único operador primitivo el operador de Peirce (nº 4), aunque el uso de un solo operador primitivo hace muy engorrosas las expresiones proposicionales, por lo que suelen utilizarse como mínimo tres: negador, conjuntor y disyuntor inclusivo (v).

1. 3 Reglas de formación. Nos indican como a partir de los componentes primitivos se pueden engendrar nuevos componentes, o componentes derivados del lenguaje formal. Al conjunto de las reglas de formación le llamamos sintaxis del lenguaje formal. Una regla de formación del SAF de la lógica de proposiciones sería, por ejemplo, la siguiente regla de sustitución: “Cualquier proposición atómica o molecular puede ser sustituida por otra proposición cualquiera –ya atómica, ya molecular-, dando lugar a una nueva proposición":

(p & q) -> q => [p & (s v t)] -> s v t

La implicación anterior no es más que una aplicación de la regla, en la que se ha sustituido la fórmula atómica “q” por la fórmula molecular “s v t”.

2. Parte axiomática de un SAF:

2.1 Un conjunto de axiomas. En sus Segundos Analíticos, Aristóteles llama “axiomas” a las proposiciones indemostrables, evidentes en sí mismas (inmediatamente verdaderas) que sirven de principios a los teoremas (verdades deducidas o mediatas) de una teoría científica. Hoy se entiende por “axioma”, más simplemente, una fórmula del sistema convencionalmente elegida como postulado. "Postulado" viene del latín postulare, pedir, porque le "pedimos" al interlocutor que acepte provisionalmente su verdad.
Se han formulado de hecho diferentes grupos de axiomas para la lógica proposicional, como son los de Lukasiewicz, los de Frege-Lukasiewicz, los de Nicod, y los de Hilbert-Ackermann, que son:

A1: (p v p) -> p
A2: p -> (p v q) (regla de introducción de la disyunción)
A3: (p v q) -> (q v p) (según la propiedad conmutativa de v)
A4: (p -> q) -> [(r v p) -> (r v q)]

2.2 Un conjunto de definiciones que tienen por objeto establecer el significado de los operadores derivados:

Df 1: p -> q = df ¬ p v q
Df 2: p & q = df ¬ (¬ p v ¬ q)
Df 3: p _v q = df ¬ (p -> q) v ¬ (q -> p)
Df 4: p <-> q = df (p -> q) & (q -> p)

2.3 Criterios de deducción. Se establecen lo siguientes:

D1: A1, A2, A3, A4 son tesis.
D2: Si “p” es una tesis y si “p -> q” es una tesis, entonces “q” es una tesis (o sea, el Modus Ponendo Ponens de la lógica clásica).
D3: Si una expresión lógica es una tesis y sustituimos en ella una proposición atómica por otra cualquiera, el resultado es una tesis.
D4: Si “p-> q” es una tesis y si “q -> r” es una tesis, entonces “p -> r” es una tesis. Este criterio puede ser tomado como “esquema deductivo”, e d., puede ser inferido a partir de A3, D1, D2, D3, Df1. Sin embargo, algunos tratadistas lo toman como criterio de deducción por motivos pedagógicos.
D5: Nada es tesis si no es mediante los criterios D1, D2, D3, D4.

A partir de estos axiomas, de estas definiciones y de estos criterios de deducción se pueden ir demostrando los teoremas de la lógica proposicional.
Ejemplo:

De A2, D1, D3: p -> (p v p) Teorema 1
De A1, T1, D1, D4: p -> p T2
De T2, Df1: ¬ p v p T3
De A3, D1, D3: (¬p v p) -> (p v ¬ p) T4
De T3, T4, D2: p v ¬p T5
................................................

Cada lenguaje lógico –así como cada parte de las matemáticas- tiene un sistema axiomático propio. La lógica de clases utiliza, por ejemplo, los axiomas de Huntington o los de Birkhoff y MacLane; la aritmética utiliza los axiomas de Peano; la geometría euclidiana los axiomas de Hilbert.

B. Requisitos de un Sistema Axiomático Formal
1) Independencia: Ninguno de los axiomas puede ser deducido, demostrado a partir de los demás, cada axioma debe ser independiente de los otros.
2) Consistencia*: Partiendo de los axiomas no debe ser posible deducir o demostrar un teorema y su negación (A & ¬ A). Es decir, el sistema no debe suponer contradicciones.
3) Completitud: Todo enunciado bien formulado en el lenguaje de marras que no sea deducible de sus axiomas tiene que estar en contradicción con una tesis del sistema. Es decir: Sea L un SAF cualquiera, es decidible o completo si y sólo si, dada una fórmula f cualquiera de dicho lenguaje L, hay un medio para averiguar con seguridad deductiva si f es verdadero o falso en L.

Así, por ejemplo, podemos decir que el SAF del juego de las siete y media es completo, ya que con él se puede decidir si cualquier proposición relativa a dicho juego es verdadera o falsa, por ejemplo: “El seis gana al cinco” es verdadera. “En caso de empate a siete y media, pierde la banca” es falsa.

Respecto al requisito de completitud surge unos de los más interesantes problemas de la filosofía de la lógica y de la metalógica (lógica de la lógica): las limitaciones internas de los sistemas axiomáticos formales, derivadas de su propia naturaleza.
Esta limitación fue descubierta por Gödel** en 1931: “En todo sistema axiomático formal lo suficientemente rico para contener la aritmética usual existen proposiciones indecidibles desde el interior del sistema”, esto es, proposiciones de las que no se puede decidir si son verdaderas o falsas manteniéndose dentro de los límites del propio sistema. Para demostrarlas habría que salirse del sistema y formular otros axiomas, pero ello llevaría a un proceso indefinido...
Los matemáticos han especulado con la posibilidad de que algunas proposiciones aritméticas muy sencillas, de las que todavía no ha podido ser demostrada su verdad o falsedad, sean proposiciones indecibibles, es decir, proposiciones de las que, en virtud del teorema de Gödel, no se pueda llegar a decidir con una demostración si son verdaderas o falsas. Por ejemplo, “la conjetura de Golbach”: “parece que cualquier número par puede expresarse como la suma de dos números primos”:

(2 = 1 + 1; 4 = 3 + 1; 6 = 5 + 1; etc.)

¿Es esto válido para todo número par? Ningún matemático hasta ahora ha encontrado una demostración para esta conjetura.

Hoy sabemos que la lógica de primer orden (la que sólo cuantifica variables de individuos u objetos, no variables de clases o predicados) es consistente y completa, pero no decidible, o al menos sólo parcialmente. La lógica de primer orden o elemental incluye la lógica de enunciados (o proposiciones) y la lógica de cuantores (o cuantificacional, o de predicados, etc.). La lógica cuantificacional no se puede formalizar como un SAF completo. Todos los cálculos de segundo orden (o sea aquellos cuyos argumentos son predicados de primer orden o monarios) son incompletos.


Nota bene
* Por consistencia se entiende la ausencia de contradicción. Una proposición o fórmula proposicional que es unas veces verdadera y otras veces falsa es consistente, una tautología que es necesariamente verdadera, también es consistente. A => T; T => ¬C.

** Sobre Kurt Gödel puede verse una biografía en el siguiente enlace:
http://www.cibernous.com/autores/kgodel/index.html


Ejercicios
1. Formalice los siguientes enunciados:

a) La filosofía de Hegel es muy complicada, pero grandiosa.
b) La vieja lógica ponía cadenas al pensamiento, la nueva en cambio le pone alas.
c) Goethe y Hegel fueron contemporáneos, porque compartieron la historia del siglo XIX.
d) Russell y Whitehead son los autores de los Principia Mathematica.
e) Sólo si hay una sustancia transmisora se propaga el sonido.
f) Todo número positivo es par o impar.
g) No se puede pensar decentemente, si uno no acepta hacerse daño a sí mismo o acepta la indignidad de engañarse.
h) De no existir la música y el canto de los pájaros, la vida sería un error.
i) Si fuera invisible o todo el mundo ciego, nadie me vería, luego soy tangible y la gente ve lo que quiere.
j) Para que un triángulo sea isósceles es suficiente que sea equilátero.

2. Interprete las siguientes fórmulas

a) s & t => t v z
b) (z -> s) -> (¬s -> ¬z)
c) (t -> p) & (¬p & t)
d) s -> ((q -> (p v t))

3. Construya sus tablas de verdad, y explique si son contradicciones, tautologías o indeterminaciones.