Reglas Lógicas

El cálculo de proposiciones

El cálculo lógico es una forma segura de razonamiento. Con una serie bien determinada de principios y reglas, el cálculo lógico de proposiciones nos permite inferir de manera que a partir de la suposición de la verdad de una o más hipótesis o premisas, podemos obtener una conclusión válida, que es su consecuencia lógica.

Reglas básicas de conectivas

Nos dicen cómo operar con funciónes lógicas como la conjunción, la disyunción, la condicional y la bicondicional.

Introducción del conjuntor (IC)

La regla nos dice que si tenemos en dos premisas o pasos del razonamiento dos fórmulas cualesquiera (A, B), podemos unirlas mediante el conjuntor:

  A

  B

_____

A & B

(La conclusión se separa de las premisas o hipótesis mediante una raya horizontal).

Una interpretación: Me gusta el jamón, me gusta la tortilla de patatas (premisas), luego me gusta el jamón y la tortilla de patatas (conclusión).

Eliminación del conjuntor (EC)

Si tenemos en una premisa o paso de nuestro razonamiento una conjunción de dos fórmulas, las que sean (A & B), podemos extraer uno de sus miembros como consecuencia lógica:

A & B         A & B

_____       _____

A                  B

Interpretación: Si es cierto que es lunes y tengo dolor de cabeza, entonces puedo concluir que me duele la cabeza.

Introducción del disyuntor inclusivo (ID)

Si tenemos como premisa una fórmula cualquiera A (simple o compleja), podemos sumarla lógicamente, mediante la disyunción a cualquier otra (B):

  A

____

A v B

Interpretación: Sea la tesis "en verano hace calor", entonces también será cierta la tesis "en verano hace calor o moriré con las botas puestas".

Eliminación del disyuntor inclusivo ED

Sea la hipótesis disyuntiva A v B, si de la suposición provisional de  A se sigue la misma tesis que de la suposición provisional de B, pongamos C, entonces puede concluir legítimamente C.

A v B   Premisa

A (Hipótesis provisional)

.......

C

B (Hipótesis provisional)

.......

C

_____

C

Los puntos suspensivos indican un número de pasos indeterminados en la demostración. A esta regla también se la reconoce como una de las leyes del dilema constructivo:

((A v B) & (A -> Z) & (B -> Z)) => Z 

Interpretación: A Madrid podemos llegar por coche o por tren. Elegimos el coche, llegamos a Madrid; elegimos el tren, llegamos a Atocha, estación de Madrid; luego queda demostrado que los dos medios nos permiten llegar a la capital de España.

El disyuntor inclusivo también desaparece si negamos uno de los miembros de la disyunción: 

A v B         A v B

¬A             ¬B

____         _____

B                A

Este se llama Inferencia de la alternativa (IA), y es tan común que los estoicos decían que lo usaban hasta los perros, cuando al seguir una senda entre dos, y  por haber perdido el rastro, retomaban otro camino esperando recuperar al rastro de la presa o el amo.

Interpretación: El domingo iré a hacer senderismo a la sierra o a relajarme junto al mar. No puedo ir al mar (no tengo dinero para un viaje tan largo). Ergo iré a hacer senderismo a la sierra.

Introducción del condicional o teorema de la deducción (TD)

Si partiendo de cualquier hipótesis A, a través de una serie de pasos legítimos (justificados por reglas lógicas) llegamos a una consecuencia B, entonces podemos considerar a A como antecedente de un condicional: A -> B.

A

......

B

____

A -> B

El teorema de la deducción es una de las reglas que más usamos en nuestra vida cotidiana para establecer relaciones condicionales entre sucesos. Si afirmamos, por ejemplo, que el consumo de alcohol origina un aumento de la frustración y la agresividad, deberemos demostrar que si sucede lo primero sucede lo segundo. En este caso, el consecuente (B) es una proposición compleja (q & r).

Eliminación del condicional o Modus Ponens (MP)

Si suponemos un condicional A -> B y afirmamos el antecedente (A), entonces podemos inferir también el consecuente B.

A -> B

A

_____

B

¡Ojo!: es frecuente creer que porque este razonamiento es correcto también lo sería que afirmando el consecuente podríamos inferir la afirmación del antecedente. Sin embargo, la fórmula:

((A -> B) & B) -> A

es una fórmula correcta del cálculo proposicional, pero es una indeterminación, no una tautología. El lector puede comprobarlo construyendo su tabla de verdad. Entonces observará que la condicional que define la fórmula (su función dominante) no es verdadera en todos los casos; o sea que las premisas "A -> B" y "B" pueden ser ciertas al mismo tiempo que A es falsa; por consiguiente, no es cierto que las fórmulas "A -> B" y la fórmula "B" impliquen la fórmula "A".

Se trata de una de las llamadas "falacias del condicional".

Un ejemplo: Aunque sea cierto que si llueve la tierra se moja, ello no implica que al comprobar que la tierra está mojada podamos inferir que es porque ha llovido. La tierra podría estar mojada por otras causas (escarcha, rocío, una tubería rota...). Dicho más formalmente: sea un condicional, de la afirmación del antecedente se sigue la afirmación del consecuente; pero de la afirmación del consecuente no se sigue necesariamente la afirmación del antecedente.

Modus Tollendo Tollens (MTT)

Otra manera de eliminar un condicional es la que nos ofrece esta antigua regla demostrativa. A partir de la aseveración de un condicional, si contamos (como premisa) con la negación del consecuente (apodosis), entonces podemos negar el antecedente (prótasis):

A -> B

¬B

_____

¬A

¡Ojo! Es frecuente pensar que vale como inferencia segura la negación de la apódosis (consecuente) a partir de la premisa de la negación de la prótasis del condicional (antecedente). Pero se trata de una falacia del condicional, como puede verse haciendo la tabla de verdad de la fórmula:

((A -> B) & ¬A) -> ¬B

Como en el caso de la falacia anterior, nos encontramos con una fórmula correcta pero indeterminada, de modo que las premisas no implican necesariamente la conclusión "¬B".

Por citar el mismo ejemplo: Si llueve, la tierra se moja, y no ha llovido, eso no implica que la tierra no esté mojada (porque alguien ha regado, ha escarchado, etc.).

Introducción del negador o Reducción al Absurdo (RA)

Si suponemos cualquier fórmula A y llegamos, aplicando reglas seguras, a una contradicción (B & ¬B), entonces podemos concluir que A es falsa, o sea que ¬A es una consecuencia lógica.

A

......

B & ¬B

______

¬A

Interpretación: Supongamos que afirmamos que si Dios existe entonces santifica la guerra (p -> q), pero razonando a partir de esta premisa llegamos a la conclusión de que Dios se complace con el bien y Dios se complace con el mal (r & ¬r), lo cual es a todas luces contradictorio. Entonces podemos concluir legítimamente que no es cierto que si Dios existe, santifique la guerra: ¬(p -> q).

Como corolarios (conclusiones de la conclusión) podríamos inferir las tesis "p & ¬q", o sea, "Dios existe y no santifica la guerra" y la tesis: ¬ (¬p v q), o sea, "no es cierto que Dios no exista o santifique la guerra".

Eliminación del negador o Doble negación (DN)

La doble negación de una fórmula cualquiera equivale a su afirmación, por tanto, también la implica.

¬¬A

___

A

Interpretación: No es cierto que no te aprecie equivale e implica que te aprecio.

Ejercicios

Con estas reglas de cálculo ya podemos realizar demostraciones sencillas en cadenas verticales de símbolos que representan nuestro razonamiento. Cada paso debe estar justificado, por ser una premisa, un supuesto auxiliar o una operación realizada según una regla de cálculo, que debe citarse a la derecha por sus siglas, así como las premisas o pasos a que se aplica la citada regla.

Un ejemplo: Dadas las premisas z, q, (z & q -> t), ¿se puede concluir de ellas la tesis "t"?

Veamos:

1. z               Premisa

2. q               Premisa

3. z & q -> t   Premisa

4. z & q      (Introducción del conjuntor, IC, a partir de 1. 2.)

5. t              Modus ponendo ponens, MP, aplicado a 3. 4.)

Ahora pruebe el lector con las siguientes inferencias:

(1) Sean las premisas: s, (s v p -> z), ¿sería válida la conclusión "z"?

(2) Demuestre la tesis t, a partir de la hipótesis (s & (t & z)).

(3) ¿Podemos inferir la conclusión "q", a partir de las premisas siguientes: ¬s & (r v s), (p v r) -> (t & q)? (Pista, en algún momento deberá usted inferir la alternativa e introducir la disyunción).

(4) Demuestre la validez de la consequientia mirabilis o Ley de Clavius: (¬A -> A) -> A.

(Pista: use el Teorema de la Deducción).

(5) Demuestre la validez del siguiente esquema de inferencia:

p -> q

r v s

s -> ¬q

¬r

=> ¬p

(6) Formalice como un dilema la siguiente copla "Ni contigo ni sin ti/ mis penas tienen remedio/ contigo porque me matas/ y sin ti porque me muero".

(7) ¿Qué conclusión puede sacarse de la siguiente proposición mediante la regla de la doble negación (DN): "No ocurre que un animal adecuadamente instruido mediante golpes y castigos, no gruña ferozmente". Infiera otros corolarios aplicando reglas lógicas.

(8) Dadas las premisas siguientes, demuestre "y = 1":

(2x + y = 7) -> (2x = 4)

(2x + y = 5) -> (y = 1)

(2x + y = 7) v (2x + y = 5)

¬ (2x = 4)

(9) Formalice y demuestre: "Si el todo no fuera infinito, el vacío tendría que ser objeto de los sentidos; pero nadie ha sentido jamás el vacío, luego el mundo es infinito".

(10) ¿Puede usted reconocer las siguientes reglas lógicas? Escriba su fórmula:

a) Si tenemos como premisas una fórmula disyuntiva y la negación de uno de sus miembros, podemos inferir como conclusión la afirmación del otro.

b) Si suponemos la verdad de una fórmula cualquiera y mediante operaciones lógicas llegamos a otra, podemos usar la primera como prótasis de la segunda, que sería su apódosis.

c) Si tomamos como premisas dos condicionales tales que la apódosis del primero sea la prótasis del segundo, podemos inferir otro condicional tal que la prótasis y apódosis sean los miembros extremos de la premisas.

d) Si tenemos como premisa una fórmula cualquiera A podemos inferir como conclusión una disyunción compuesta por la fórmula dad más cualquier otra, por absurda que ésta sea.